Análisis de Señales y Sistemas de Comunicación

Expresiones alternativas de la serie de Fourier La frecuencia angular fundamental es ω0 =2π/T La frecuencia angular del armónico n-ésimo es nω0=2πn/T La serie se puede escribir Si t es el tiempo en segundos, la frecuencia fundamental en Hz es f0 =1/T La frecuencia en Hz del arm´onico n-´esimo es fn = nf0 =n/T La serie se puede escribir Sabiendo que la frecuencia fundamental de una onda s(t) es ω, únicamente se requieren los valores de amplitud y fase de cada uno de los parciales para reconstruir la onda. El conjunto de estos valores se llama espectro {(A1, Φ1),(A2, Φ2),(A3, Φ3), . . . } Espectro de amplitud Representación frecuencia-amplitud.

Las transformaciones de la Serie de Fourier y la Transformada de Fourier convierten las señales en el dominio del tiempo en representaciones en el dominio de la frecuencia (o espectrales). El análisis de Fourier es esencial para describir ciertos tipos de sistemas y sus propiedades en el dominio de la frecuencia. Una señal x(t) de tiempo continuo es periódica si existe un valor positivo T distinto de cero para el cual se cumple que: Para toda t. Dos ejemplos clásicos son la señal sinusoidal real y la exponencial compleja: La representación de la serie de Fourier exponencial compleja de una señal periódica con período fundamental T0 está dada por: para calcular los coeficientes ck se utilizan los intervalos 0 hasta To ó – To /2 hasta To /2 para la integración. Al establecer k=0, obtenemos: Lo cual indica que el coeficiente c0 es igual al valor promedio de x(t) sobre un período.

En 1822, cuando el matemático francés (Jean Baptiste) Josehp Fourier (1758-1830) estudiaba problemas de flujo de calor (las aplicaciones eléctricas eran escasas en ese entonces), demostró que las funciones periódicas arbitrarias se podían representar mediante una serie infinita de senoides armónicamente relacionadas. Más tarde fue usada para describir procesos físicos en los que los eventos ocurren en el tiempo según un patrón regular (periódico). Por ejemplo, una nota musical consiste una simple nota llamada fundamental, y una serie de vibraciones llamadas sobretonos. La serie de Fourier proporciona el lenguaje matemático que nos permite describir con precisión la estructura compleja de una nota musical. La serie de Fourier, no es solamente uno de resultados importantes del análisis moderno sino también puede decirse que proporciona un instrumento indispensable para el tratamiento de casi toda pregunta recóndita en ingeniería moderna. Para mencionar solamente algunas, las vibraciones