Representación de señales periódicas por series de Fourier trigonométricas

En 1822, cuando el matemático francés (Jean Baptiste) Josehp Fourier (1758-1830) estudiaba problemas de flujo de calor (las aplicaciones eléctricas eran escasas en ese entonces), demostró que las funciones periódicas arbitrarias se podían representar mediante una serie infinita de senoides armónicamente relacionadas. Más tarde fue usada para describir procesos físicos en los que los eventos ocurren en el tiempo según un patrón regular (periódico). Por ejemplo, una nota musical consiste una simple nota llamada fundamental, y una serie de vibraciones llamadas sobretonos. La serie de Fourier proporciona el lenguaje matemático que nos permite describir con precisión la estructura compleja de una nota musical. La serie de Fourier, no es solamente uno de resultados importantes del análisis moderno sino también puede decirse que proporciona un instrumento indispensable para el tratamiento de casi toda pregunta recóndita en ingeniería moderna. Para mencionar solamente algunas, las vibraciones sonoras, la propagación de señales en sistemas de comunicación, y conducción o propagación de calor, son temas que en su generalidad son intratables sin esta herramienta, esto nos da una pequeña idea de su importancia. Una de las glorias coronadas de la matemática del siglo diecinueve fue el descubrimiento de que una función periódica 𝑓(𝑡) de periodo 𝑇 bajo ciertas condiciones generales se puede representar con la serie (suma) infinita de senos y cosenos:

O bien, si se sustituye la relación 2𝜋/𝑇 = 𝜔, se tiene,

Estas series llamadas series trigonométrica de Fourier convergen a los valores de f (t) en todos los puntos del intervalo [0,T] con posibles excepciones en los puntos de discontinuidad y los puntos extremos del intervalo. Un ejemplo inmediato, es su uso en análisis de redes eléctricas para estudiar la respuesta de estado permanente a una señal de entrada periódica que inicia idealmente en el tiempo igual a cero y dura para siempre. Además se usa para estudiar la señal de entrada y la respuesta de la red, en función del contenido de frecuencias. La idea de contenido de frecuencias de las formas de onda de señales es útil en los problemas de ingeniería, y constituyen la base de gran parte del lenguaje que usan los ingenieros principalmente los electricistas y electrónicos.